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VERDAD Y REALIDAD DE
LAS GEOMETRÍAS EUCLÍDEAS Y NO EUCLÍDEAS
Es para mí un gran
honor el que me ha concedido la Universidad Politécnica de
Valencia al nombrarme Doctor "Honoris Causa", tanto por el
gran prestigio de esta Universidad, como por lo preciado del
título.
Además en mi caso es
también una gran satisfacción por lo muy unido que estoy a
esta tierra valenciana, soy de Játiva, lo fueron mis Padres,
mis Abuelos y todos mis Antepasados que yo recuerde.
He
empleado en plural la palabra geometrías euclídeas, porque
aparte del espacio habitual, la geometría euclídea puede
adecuarse a espacios que no son simplemente conexos, que
aunque tienen la misma métrica, tienen propiedades topológicas
distintas, de modo que existen figuras geométricas de
apariencia surrealista, con extrañas propiedades. También las
geometrías hiperbólica y elíptica (no euclídeas) pueden
adecuarse a espacios que no son simplemente conexos, lo que
tiene aplicaciones físicas. Véanse los dibujos y la
bibliografía.
Voy a analizar
algunos aspectos de las Matemáticas y de la Física, así como
de sus Filosofías, que me parecen unos relevantes y otros
curiosos.
Voy a señalar su
impacto en nuestras formas de pensamiento y en nuestra
concepción ideológica del mundo. Una característica a señalar,
es cómo han ido cambiando en el tiempo, nuestra idea de la
Verdad, de la realidad de las cosas, de qué es una
demostración, etc. La Verdad ha perdido en el campo científico
una parte de su valor absoluto, se ha relativizado algo, en el
sentido en que lo entendió el gran literato italiano
Pirandello, y que ha constituido el núcleo de algunas de sus
más célebres obras de teatro: "Seis personajes en busca de
Autor", "Enrique IV" y sobre todo "Así es si así os parece".
Esta última obra ha sido traducida al español por Ildefonso
Grande, que fue catedrático de Francés en el Instituto de
Játiva, con el título "La verdad de cada cual", título muy
apropiado, y que trasladado al campo de la Ciencia, nos haría
decir que cada época tiene su verdad científica, sus propios
métodos para alcanzarla y sus criterios para medir la
exactitud y el rigor en las demostraciones.
Nosotros los
occidentales somos herederos directos de la cultura griega y
romana, herencia que ha sido modificada y muy mejorada por la
que hemos recibido del Cristianismo. Los griegos nos han
dejado tres grandes legados científicos que han durado siglos,
que son la Física y la Lógica de Aristóteles y la Geometría de
Euclides, la primera falsa y las otras dos verdaderas. La
Física de Aristóteles va asociada, aunque no por necesidad
lógica a la teoría geocéntrica de Ptolomeo, ambas son falsas,
pero a pesar de ello, la segunda produjo un gran progreso en
la Astronomía mientras se creyó en ella, es sorprendente como
el gran talento e ingenio de los antiguos hizo posible que a
pesar de apoyarse en una base falsa, lograran un conocimiento
tan grande de los hechos reales. El fin de la Física
aristotélica y del sistema de Ptolomeo tiene lugar con
Galileo. El proceso histórico que condujo a este final es
apasionante. Lo hemos descrito y analizado en una conferencia
publicada en 1993 por "Los Amigos de la Cultura Científica"
que lleva por título "El legado de Galileo en la evolución de
la Física hasta hoy", por lo que no voy a insistir sobre este
tema.
La lógica
aristotélica sigue siendo válida, ha reinado prácticamente sin
rival hasta fines del siglo XIX, en que nace la lógica
matemática, y a partir de ahí ha tenido lugar el florecimiento
de las lógicas no aristotélicas. En la Lógica de Aristóteles
son válidos dos grandes principios que tienen un uso frecuente
y muy importante en la Matemática, que son el principio de
contradicción según el cual "una proposición no puede ser
verdadera y falsa a la vez" y el principio del tercero
excluido según el cual "una proposición es o verdadera o
falsa", también llamado "principio del tertium non datur".
Modernamente Brower desarrolló la llamada lógica intuicionista
que niega el principio del tercero excluido, y yo mismo he
desarrollado una lógica que he propuesto llamar lógica
relativista en la que no es válido el principio de
contradicción (véase bibliografía). En relación con lo que he
llamado lógica relativista he de hacer una cita que no conocía
cuando publiqué mis escritos. Esta cita es de Coleridge en sus
"Charlas de sobremesa", que escribe: Platón nos hace ver que
proposiciones relativas a concepciones contradictorias son,
sin embargo, verdaderas, y por lo tanto deben pertenecer a una
lógica superior, la de las ideas. Son contradictorias sólo en
la lógica aristotélica, que es el instinto de la comprensión
(cita resumida).
Pieza clave de la
Lógica aristotélica es el silogismo. Al analizar la paradoja
de Zenón de Elea de Aquiles y la tortuga, en lo que he llamado
los engaños de la razón (véase bibliografía) he señalado que
en Lógica como en Matemáticas existe peligro en el empleo del
infinito y he establecido que un silogismo repetido infinitas
veces puede dejar de ser un silogismo, o lo que es lo mismo
que una demostración repetida infinitas veces, puede dejar de
ser una demostración.
Los griegos
progresaron mucho más en Matemáticas que en Física, y dentro
de las Matemáticas fue la Geometría en lo que más. En el siglo
VI a. J.C. en Mileto, que era un puerto y una ciudad jónica
floreció por primera vez el pensamiento filosófico y
científico griego. Mileto fue conquistada por los persas en
540 a. J.C. y gozó de relativa autonomía hasta el 494 en que
se sublevó contra Persia y fue vencida. Fue liberada en el
479, pero ya en esa época había perdido su importancia
cultural a favor de la Grecia europea, especialmente de
Atenas. En Mileto vivió Tales (¿625-547?) el primero en el
tiempo de los grandes filósofos griegos, a quien se le
atribuye el cálculo de las alturas de las pirámides egipcias
mediante las propiedades de los triángulos semejantes, el
descubrimiento del poder de atracción de los imanes y de la
electricidad estática. Él inició la transformación de las
Matemáticas en una ciencia abstracta y dio las primeras
demostraciones deductivas de algunos teoremas.
Antes de llegar a
Euclides, entre otros muchos sabios destacaron Pitágoras
(¿570-480?) que en el orden cronológico fue el primer físico
matemático dando a conocer la relación entre la longitud de
las cuerdas y las notas musicales; se le considera el fundador
de la matemática pura, al reconocer que los números y las
figuras geométricas son ideas producidas por la mente humana,
distintas de las imágenes físicas, de carácter abstracto
totalmente desligado de la materia. La aportación más
importante de Pitágoras es el teorema que lleva su nombre, que
afirma que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de
los cuadrados de los catetos. Aparte de su gran interés
teórico, es un teorema con grandes aplicaciones prácticas al
cálculo de la diagonal del cuadrado en función del lado, de la
diagonal del cubo en función de la arista, del lado del
triángulo equilátero en función del radio del círculo
circunscrito. Ligado a este descubrimiento está el de que no
existe ningún número racional cuyo cuadrado sea igual al doble
de un cuadrado, o lo que es lo mismo que 2½ no es un número
racional (es irracional), es decir no es igual al cociente de
dos números enteros. Combinado con el descubrimiento posterior
de la descomposición de un cuadrado en la suma de dos
cuadrados y dos rectángulos iguales, que es la demostración
geométrica del cuadrado de una suma, sirve para calcular el
lado de un triángulo cualquiera en función de los otros dos y
de la proyección de uno de ellos sobre el otro.
La importancia actual
del teorema de Pitágoras es muy grande porque aplicado a
cantidades infinitesimales define la métrica de las
superficies en el espacio euclídeo, y de los espacios
riemannianos (no euclídeos); es la base de la geometría
diferencial métrica.
Conviene señalar que
el teorema de Pitágoras no es válido en las geometrías no
euclídeas clásicas, en la hiperbólica el cuadrado de la
hipotenusa es menor que la suma de los cuadrados de los
catetos, y en la elíptica es mayor. El primer resultado es
importante en Física, en la Cinemática relativista, en donde
la composición de velocidades coplanarias no es conmutativa, y
existe una velocidad superior límite (la velocidad de la luz
en el vacío). Véase bibliografía.
Otro matemático
importante anterior a Euclides, fue Eudoxio de Cnido (408-355)
quien estableció seguramente por primera vez, de una manera
clara, la estructuración deductiva de la geometría sobre la
base de axiomas explícitos; para él como para Platón (teoría
de la anamnesis) la mente era capaz de reconocer como verdades
evidentes los axiomas. Sus aportaciones científicas fueron muy
variadas e importantes tanto en Geometría, como en Astronomía
y Geografía. Preparó muy eficazmente el camino a Euclides;
Eudoxio fue un platónico, Euclides fue a la vez un platónico y
un aristotélico.
Platón (427-347) y
Aristóteles (384-322) aunque ninguno fue matemático,
contribuyeron mucho al desarrollo de la Matemática griega,
como animadores y como orientadores.
Platón fundó en Atenas
hacia el 387 a. J.C. la Academia que fue una especie de
Universidad. Es muy conocida la inscripción en la Academia de
la célebre frase "No entre quien no sepa Geometría", era un
entusiasta de la Matemática y creía que era muy importante su
estudio para el aprendizaje de la Filosofía y para el
conocimiento del mundo que nos rodea. Para él, los objetos
geométricos son independientes de la experiencia y distintos
de los objetos físicos, su realidad es intrínseca a ellos.
Contribuyó mucho, Platón, a la preferencia de los griegos por
lo abstracto y por la verdad absoluta, encarnada para ellos,
en los teoremas matemáticos, lo que les hizo muy exigentes
para el rigor y la exactitud matemática.
La Academia de Platón
duró mucho tiempo, en los siglos III y IV hay un renacimiento
del neoplatonismo, que se convierte en parte, en una reacción
tardía del mundo romano pagano contra el Cristianismo, que se
hace muy fuerte bajo el emperador Juliano el Apóstata
(331-363) también neoplatónico, pero dura poco. En el año 529
el emperador bizantino Justiniano cierra la Academia de
Atenas, cuando ya prácticamente el neopaganismo estaba muerto,
es más bien un acto simbólico que recuerda algo al cierre del
Club de los Jacobinos de París en 1799 por Fouché, ministro
del Directorio (3 de Termidor), acto que en su momento pareció
a la opinión pública, atrevido y casi temerario como
consolidación de la reacción termidoriana, pero que en
realidad fue también un acto simbólico, pues el Terror en
París había llegado a su fin el 9 de Termidor de 1794 con la
caída y muerte de Robespierre y de su facción.
Como recuerdo al
sentimiento de adhesión de Platón a la Geometría, hace unos
años en Madrid, un grupo de ingenieros y científicos crearon
lo que llamaban la Akademia (con k) Neoplatónica con el lema
"entre quien ame la Geometría" para renovar el estudio y el
amor por esta ciencia.
Aristóteles al crear
la Lógica como ciencia deductiva (su Organon) contribuyó
enormemente al plan de los Elementos de Euclides. Discrepaba
de Platón sobre la naturaleza de los objetos matemáticos,
atribuía la realidad del universo a la materia, a las
sustancias concretas, pero entre las propiedades de los
objetos materiales estaban los números y las figuras
geométricas, de modo que estos son conceptos abstractos que se
derivan de las propiedades físicas de los cuerpos
concretos.
Aristóteles dio un
concepto de definición que es prácticamente el moderno, debe
de expresarse en términos de algo previo a lo definido,
reconoce la necesidad de que existan algunos pocos términos
indefinidos como punto de partida para el conjunto de
definiciones. Aristóteles se dio cuenta de que una definición
dice lo que es una cosa, pero no prueba la existencia de la
cosa. La existencia tiene que demostrarse salvo para unas
pocas cosas que sirven de punto de partida para la elaboración
de cualquier teoría. Aristóteles destaca la diferencia entre los axiomas que
son verdades comunes a todas las ciencias y los postulados que
son verdades específicas de una ciencia particular. Plan que
sigue Euclides en sus Elementos.
Antes de que Euclides
escribiese sus Elementos, otros griegos habían escrito sus
Elementos de Geometría, entre ellos figuran Hipócrates que
vivió hacia el 450 a. J.C., que fue seguramente el primer
griego que escribió un tratado de Geometría (Lúnulas
hipocráticas), Theudius de Magnesia cuyo libro era "texto" en
la Academia de Platón. La idea que se iba abriendo camino era
obtener mediante demostración (por vía deductiva) el mayor
número de verdades geométricas y al mismo tiempo reducir al
mínimo las verdades primarias, reconocidas sin demostración,
que servían como punto de partida para el conocimiento
geométrico.
Euclides vivió de
fines del siglo IV a principios del siglo III a J.C., enseñó
en Alejandría, centro intelectual de primera categoría en
aquel tiempo, fue discípulo de Platón, y estuvo sin duda
alguna muy influido por Aristóteles; escribió hacia el 300 a
J.C. sus Elementos (Stoiecheia) donde recopiló casi todo el
saber geométrico de su tiempo, con grandes aportaciones suyas.
Es una obra supermaestra.
El texto griego nos
ha llegado por un gran número de manuscritos, la mayor parte
copia de una versión hecha por Teon de Alejandría en el siglo
IV. En 1808 Peyrard encontró en el Vaticano un manuscrito del
siglo X que contenía una copia anterior a la versión de Teon.
También se descubrieron en otras Bibliotecas, otros
manuscritos con copias de fragmentos de otras versiones, lo
que junto a las traducciones árabes y latinas, ha permitido
reconstruir casi íntegramente el texto original de Euclides.
Una de las versiones más dignas de crédito es la de Heiberg y
Menge en ocho volúmenes (Leipzig 1883-1916) que contiene las
obras conocidas de Euclides. Otra es la de Heath (Cambridge
1925 en tres volúmenes, reimpresa en 1956 en Nueva
York).
Euclides desde un
principio ejerció una gran influencia con sus Elementos,
siendo muy comentado por los mismos griegos, entre ellos
Posidonio y Gémino en el siglo I a J.C.; Herón de Alejandría
de los siglos I a J.C. y I de nuestra era; Porfirio (siglo
III), Pappus (finales del siglo III) Proclo (410-485),
Simplicius, el comentador de Aristóteles (siglo VI)
etc.
Muy pronto los árabes tuvieron conocimientos de los
Elementos e hicieron traducciones de los mismos a partir del
siglo VIII, bajo el califato abasida de Bagdad, de Harun al
Rashid (786-809).
Euclides llegó al
occidente europeo principalmente a partir de sus traducciones
al latín en Toledo y Palermo, ciudades que fueron
reconquistadas a los árabes en 1.085 y 1.091, donde juntamente
a Euclides, se tradujo a Aristóteles y a Ptolomeo, y muy poco
de Arquímedes. De este modo la escuela de traductores de
Toledo desempeñó un papel muy importante en el despertar
intelectual europeo del siglo XII.
El uso de los
Elementos de Euclides como texto para el estudio de la
geometría duró muchísimo, hasta muy entrado el siglo XIX;
había mucho interés en que se estudiaran porque
pedagógicamente no solo se quería que el estudiante aprendiese
geometría sino también porque se consideraba su estudio como
una buena gimnasia mental y una manera de disciplinar el
conocimiento. Necesidades de otro tipo hicieron que a partir
de final del siglo XVII comenzaran a escribirse manuales de
geometría por otros autores, que aunque inspirados en Euclides
introdujeron nuevos enfoques y aportaciones que modificaron
bastante el texto de Euclides. Entre estos manuales fueron
importantes en Inglaterra el de Simson de 1756 que tuvo cerca
de 30 ediciones, el de Playfair de 1797 que tuvo 10 ediciones.
En Alemania el de Lorenz de 1773. En Francia el muy anterior
de Déchales de 1672, que fue varias veces reeditado y
traducido al inglés y al italiano. En el siglo XVIII los
Elementos de Geometría de Legendre y de Lacroix en
Francia.
No hay ninguna duda
de que el estudio de la geometría, apasionó a muchos
estudiantes (niños o adolescentes) y que despertaron en ellos
una gran vocación, fue la forja de muchos matemáticos
célebres. Entre ellos está el caso de Pascal en quien se
mezcla la historia y la leyenda en su extraordinaria
precocidad matemática; Einstein quien él mismo relata que a
los 12 años cayó en sus manos lo que él llama "el santo libro
de geometría" que le causó una impresión indescriptible por la
claridad y la precisión del texto. Es notable el caso de
Galois, uno de los más grandes matemáticos, nació en 1811, el
mismo año en que nació el Rey de Roma (el hijo de Napoleón);
en 1823 para cursar estudios secundarios ingresó en el Colegio
Real Luis El Grande, donde habían estudiado Víctor Hugo y
Robespierre, al año siguiente moría Luis XVIII y era coronado
su hermano Carlos X, el último Borbón francés, con el
advenimiento de este nuevo Rey volvieron a Francia tiempos
turbulentos y revolucionarios, que influyeron en la vida de
Galois; éste no se encontraba a gusto en el Colegio, era
conflictivo para sus profesores que le consideraban
somnoliento, indisciplinado y falto de interés, pero en el
curso de 1827 tuvo que estudiar los Elementos de Geometría de
Legendre y todo cambió para él, quedó ensimismado y absorto en
su lectura, le pareció el edificio de la geometría algo lleno
de belleza, los teoremas más reales que el mundo físico, se le
hacía evidente la verdad de los teoremas; un libro destinado a
ser estudiado en dos años, lo aprendió en meses.
Volviendo de nuevo a
Euclides se le considera "el padre de las Matemáticas
modernas", el auténtico fundador del método axiomático. En
1959 hubo un congreso de matemáticos en Royaumont, donde el
gran matemático francés Dieudonné, coautor de Bourbaki, lanzó
un grito "abajo Euclides", si bien es obvio que ello no
suponía ninguna crítica al genio de Euclides, si era el inicio
de una profunda reforma de la enseñanza matemática, era el fin
de una época milenaria.
El sistema axiomático
de Euclides y su método eran insuficientes para una
construcción de la geometría independiente de la experiencia y
de la percepción visual de las formas geométricas. Euclides
hacía constante uso de la intuición y de lo que ven nuestros
ojos en sus demostraciones y construcciones, y así por ejemplo
si una recta pasa por un punto interior a una circunferencia y
por un punto exterior, la recta corta a la circunferencia; si
una circunferencia pasa por un punto interior y por un punto
exterior a otra circunferencia, las dos circunferencias se
cortan en dos puntos, y así se pueden citar otros muchos
ejemplos. Estos son hechos que podemos comprobar visualmente
en el dibujo sobre el papel, pero que es necesario demostrar,
y para cuya demostración no basta con los Elementos de
Euclides.
Euclides, aunque
platónico, en sus Elementos sigue la línea marcada por
Aristóteles de distinguir entre axiomas y postulados, los
primeros son verdades primarias admitidas sin demostración,
cualesquiera que sea la razón por la que las aceptamos, son
comunes al razonamiento lógico, y los segundos son solamente
propios de la geometría. Además hace uso de definiciones, de
modo que con este bagaje inicial se va desarrollando todo el
saber geométrico. Ya Aristóteles había señalado que no es
necesario que los postulados sean verdaderos a priori, que su
certeza se comprueba al contrastar con la realidad los
resultados obtenidos. Proclo aún fue más lejos, considera que
las matemáticas son verdaderas, solo si los supuestos
iniciales son verdaderos y la deducción es correcta, Proclo le
da a las Matemáticas un estatus de ciencia hipotética más que
de ciencia exacta. Obsérvese que la opinión de Aristóteles es
parecida a la que adoptarán en nuestro siglo los físicos
teóricos, y que la de Proclo es un adelanto de la de Bertrand
Russell (1872-1970) que define las Matemáticas como la ciencia
que no sabe de lo que trata ni si lo que dice es verdad o no,
se refiere con ello a que se parte de ciertos postulados que
se admiten como verdaderos, y mediante ciertas operaciones
conocidas y bien definidas, que actúan sobre elementos de
naturaleza desconocida, se va obteniendo una cadena de
teoremas que constituyen una teoría matemática dada. Al ser
los elementos de naturaleza desconocida es por lo que dice
Russell que las matemáticas no saben de lo que tratan, y por
ser los teoremas verdaderos, única y exclusivamente, si los
postulados lo son, es por lo que dice que ni siquiera saben si
lo que dicen es verdad. No obstante hasta casi nuestro siglo
se han considerado axiomas y postulados como verdades
indiscutibles.
Las definiciones,
postulados y axiomas de Euclides varían ligeramente en las
distintas versiones de sus Elementos. Vamos a seguir las de
Heath o las de Heiberg-Menge antecitadas. A continuación damos
algunas definiciones:
· 1.- un punto es lo que no tiene
partes.
· 2.- una línea es una longitud sin anchura
·
4.- la recta es aquella línea que se halla igualmente
respuesta respecto a todos sus puntos.
· 5.- una
superficie posee únicamente longitud y anchura
· 7.- el
plano es una superficie que se halla igualmente dispuesta con
respecto a todas sus rectas.
· 15.- un círculo es una
figura plana rodeada por una línea (la circunferencia) tal que
todas las rectas que inciden sobre ella desde cierto punto
interior a la figura son iguales entre sí.
· 16.- este
punto se llama centro del círculo.
· 23.- rectas paralelas
son aquellas que, estando en el mismo plano, no se encuentran
cuando se prolongan indefinidamente en ambas direcciones.
Los cinco postulados
son:
· I. es posible trazar un recta desde cualquier punto
a cualquier otro
· II. es posible prolongar
indefinidamente cualquier recta. Una versión distinta del
postulado II se obtiene sustituyendo en la definición anterior
"indefinidamente" por "continuamente".
· III. se puede
trazar un círculo con cualquier centro y radio arbitrario. Una
versión distinta del postulado III se obtiene sustituyendo en
la definición anterior "arbitrario" por "de cualquier
distancia".
· IV. todos los ángulos rectos son iguales.
· V. si una recta que corta a otras dos forma ángulos
internos del mismo lado de la secante, cuya suma sea menor que
dos rectos, aquellas dos prolongadas hacia este lado, se
encuentran. Este es el famoso postulado de las paralelas, que
algunas veces es considerado como un axioma, el axioma XI.
Este postulado de las paralelas equivale a la proposición XXXI
de los Elementos, que afirma "por un punto dado se puede
trazar una sola recta paralela a una recta dada". Algunos
autores han tomado la proposición XXXI como el V postulado,
entre ellos Playfair.
Entre los axiomas
vamos a citar dos:
· VII. cosas que se pueden superponer
son iguales.
· IX. dos rectas no pueden encerrar espacio.
Las definiciones han
sido muy criticadas, entre otras razones porque algunas operan
con conceptos que a su vez deberían de ser definidos, otras no
son utilizadas en la demostración de los teoremas y por tanto
son inútiles y se pueden suprimir.
Las definiciones 15 y
16, así como la de las esferas, no se cumplen en algunos casos
(el centro puede ser exterior al círculo o a la esfera) como
he encontrado en mis investigaciones sobre geometría euclídea
en el plano o en espacios que no son simplemente conexos. Ver
figuras.
Los postulados y
axiomas, salvo el postulado IV, se consideran necesarios, pero
se estiman insuficientes, porque no pueden demostrar frases o
proposiciones que se utilizan en el texto, como por ejemplo
"un punto es interior o exterior a un círculo", "dos puntos
están o no en el mismo semiplano de los dos en que una recta
divide a un plano". Para entender estas proposiciones es
preciso recurrir al dibujo y a la visión de las figuras
geométricas.
El axioma VII emplea
el verbo "superponer" para demostrar la igualdad, pero la
realización de esta operación requiere el uso de los
movimientos también ha sido criticado. Arquímedes (¿285-212)
que además de un gran matemático, fue también un físico
matemático, el principio que lleva su nombre es la base de la
Hidrostática, completó los postulados de Euclides con otros
cinco, de los que damos a continuación tres:
· I. entre
todas las líneas con extremos comunes la recta es la más
corta.
· II. otras dos líneas cualesquiera que tengan los
mismos extremos, y se hallen en un mismo plano y no son
iguales, si ambas son convexas y una de ellas es encerrada por
la otra y por la recta que une los extremos, la encerrada es
menor que la que encierra.
· V. de dos líneas, superficies
o cuerpos desiguales, la mayor es menor que la magnitud que se
obtiene si se repite la menor un número adecuado de veces.
Este último axioma es
importantísimo y ha pasado a la Historia con el nombre de
Axioma de Arquímedes y los conjuntos para los que es válido se
llaman arquimedianos.
El axioma II y el III y IV que son
una extensión del II del plano al espacio dependen de la
definición de distancia, si se adopta la euclídea son
proposiciones que se pueden demostrar y si no se adopta la
distancia euclídea, según sea esta distancia pueden no ser
verdaderos.
Arquímedes dio
también la ley de la palanca y suya es la frase: "dadme un
punto de apoyo y levantaré el universo" frase que ha tenido
éxito y así Descartes (1596-1650) diría "dadme extensión y
movimiento y construiré el universo". Eddington (1882-1944) el
astrofísico, y el matemático de la Física Relativista diría
"dadme relaciones y construiré el universo".
A pesar de sus faltas
y deficiencias y de los retoques dados por algunos Autores, la
axiomática de Euclides ha durado hasta fines del siglo XIX en
que Hilbert (1862-1943) estableció la suya, que analizaremos
más adelante. Legendre (1752-1833) escribió sus Elementos de
Geometría, que tanto impresionaron a Galois, en 1794, libro
que tuvo muchas ediciones aumentadas y corregidas hasta 1823,
en su exposición axiomática de la Geometría sigue la línea
euclidiana con la definición de recta de Arquímedes. Vamos a
reproducir algunas de las frases primeras de su libro que son
definiciones:
· 1.- El objeto de la Ciencia de la Geometría
es la medida del espacio. El espacio tiene tres dimensiones:
longitud, anchura y altura.
· 2.- Una línea tiene longitud
pero no anchura. Los extremos de una línea se llaman puntos,
el punto no tiene extensión.
· 3.- Una línea recta es el
camino más corto entre dos puntos.
Más adelante afirma
"un axioma es una proposición que es evidente por sí misma" y
"un teorema es una verdad que se vuelve evidente por medio de
razonamientos llamados demostración".
Como axiomas utiliza
entre otros:
· 4. Sólo hay una recta que une dos puntos.
· 5. Dos rectas, superficies o sólidos son iguales, si
cuando se los pone uno sobre otro, coinciden con todas sus
dimensiones.
El cambio importante
en la forma de ver las cosas surge con la axiomática de
Hilbert, en que la Geometría se convierte en una construcción
intelectual independiente, estudiada por ella misma y no por
sus aplicaciones, deja de ser la técnica de los agrimensores.
Señala Hilbert que sus axiomas están construidos sobre tres
nociones no definidas de punto, recta y plano, y que estos
nombres son enteramente arbitrarios, que él podría haber
llamado "vasos de cerveza, sillas y mesas". Compárese esta
opinión de Hilbert, que me parece cae dentro de la definición
de Matemáticas de Russell, con la definición de Geometría de
Legendre.
Vistas las opiniones
de Euclides, Arquímedes, Legendre y Hilbert, aunque ésta
última la analizaremos más adelante, cabe hacernos las
preguntas ¿qué es la Geometría?, ¿dónde está la verdad
geométrica?.
Es obvio que la
Geometría es una parte de la Matemática pura, que no le es
aplicable el método experimental, lo que la aleja de la
Física, quizás dentro de algunos años el progreso de los
ordenadores permita una investigación programada de la
geometría, que es lo que más se aproximaría a la
experimentación. Por otra parte es también obvio que las
construcciones geométricas se pueden dibujar sobre el papel y
que desde el descubrimiento de la geometría descriptiva por
Monge (1746-1818), no solamente se pueden representar sobre el
papel las relativas al plano, sino también las del espacio, y
si bien de los dibujos no podemos deducir teoremas, por el
contrario si sirven para comprobar la veracidad de los
teoremas; y no son solamente la regla (graduada o no), el
compás, el semicírculo graduado y demás instrumentos de dibujo
los que se pueden utilizar, sino que también otros
instrumentos mecánicos, como los planímetros que sirven para
medir áreas. La geometría describe físicamente el espacio y lo
mide, sirve de base para la explicación de los fenómenos
físicos, hasta el punto de que si el universo en que vivimos
no estuviera conformado con arreglo a lo que especifica la
geometría euclídea, la fenomenología del mundo físico sería
muy distinta de lo que es, la verdad física depende de la
verdad geométrica. Se ha dicho que si los geómetras no
hubieran descubierto el número pí, lo hubieran descubierto los
electricistas.
En la historia de la
Ciencia hay muchos ejemplos de que sobre una base falsa se ha
construido una teoría cierta o que al menos ha explicado lo
que observamos y vivimos. Así por ejemplo sobre el sistema
geocéntrico de Ptolomeo, mediante un sofisticado y complejo
conjunto de epiciclos y excéntricas se han podido explicar los
fenómenos observados y calculados por los astrónomos. Sobre la
creencia falsa en el calórico, Carnot (hijo) realizó sus
investigaciones que condujeron a su famoso ciclo y a la
fundación de la Termodinámica. Sobre la creencia falsa de la
electricidad como un fluido de naturaleza desconocida, Ampère
y Faraday construyeron el electromagnetismo.
En la misma
dirección, en más de dos mil años desde Euclides a Hilbert, a
pesar de usar una base defectuosa e insuficiente, y un rigor a
veces dudoso en las demostraciones, el saber geométrico ha
alcanzado un desarrollo extraordinario, nunca ha sido
contradecido por el dibujo, las máquinas y las construcciones,
ni por la descripción y el uso del mundo físico en el que
vivimos. Siempre el talento y la intuición de los geómetras ha
suplido los fallos y deficiencias del sistema euclídeo. Se
puede decir que la revolución geométrica de Hilbert ha hecho
más por el honor del espíritu humano que por la propia
geometría. Entendiendo el honor del espíritu humano en el
sentido de la célebre carta del 2 de julio de 1830 de Jacobi a
Legendre sobre Fourier en la que afirmaba "una cuestión sobre
números vale tanto como una cuestión sobre el sistema del
mundo".
En 1972 en una
conferencia de Terminología Científica en la Academia della
Crusca de Florencia, publicada en la Revista de la Academia
Toscana de las Ciencias y las Letras de la Colombaria,
analizaba la dificultad de definir, decía que había que buscar
definiciones claras y distintas de las palabras científicas en
el sentido cartesiano. Como ya había dicho en anteriores
ocasiones (véase bibliografía) estas dos cualidades que
Descartes atribuía a las ideas: claridad y distinción, no son
a mi juicio cualidades independientes, es decir que no se
pueden mejorar indefinidamente, sino que por el contrario son
cualidades complementarias en el sentido de Bohr y de la
Escuela de Copenhague de la Mecánica Cuántica. A partir de
ciertos límites cuanto más clara se vuelve una idea, menos
distinta se nos aparece y recíprocamente. Para mi las ideas
son tanto más claras cuanto más familiares nos son las
palabras que empleamos para expresarlas, y las ideas son tanto
más distintas cuanto más susceptibles son de ser interpretadas
matemáticamente.
Vamos a analizar las
definiciones, postulados y axiomas de Euclides. En primer
lugar observamos que Euclides está definiendo objetos
geométricos, proposiciones y operaciones que nos son
familiares en la vida cotidiana, son idealizaciones de algo
que vemos. Obsérvese que la definición de punto es
prácticamente la misma que la de Legendre, esta definición ha
sido muy criticada y se considera preferible dejar indefinido
el punto y definir sus relaciones con otros puntos y con otros
objetos indefinidos como son las rectas y los planos
(Hilbert). Sin embargo lo que Euclides está diciendo del punto
es verdad, si se suprime un punto de una recta no disminuye la
longitud de la recta, pero se ha modificado profundamente su
naturaleza topológica, ésta ha dejado de ser simplemente
conexa.
Euclides es posterior
a Demócrito (¿470-380?) por tanto podía haber definido los
puntos como los átomos del espacio. En la matemática moderna
en la teoría de conjuntos y en los espacios abstractos, los
puntos o elementos son los componentes atómicos de los
espacios; así como un conjunto tiene partes (sus subconjuntos)
un punto no tiene partes. Dejar indefinido el punto es una
pérdida de riqueza científica, porque no solamente hay puntos
geométricos sino que también hay puntos físicos; el punto
material base de la mecánica racional es un punto geométrico
dotado de masa; en la electricidad las cargas eléctricas
puntuales son puntos geométricos con cargas eléctricas; los
dipolos son puntos geométricos sin carga eléctrica, pero con
un momento eléctrico, se obtienen como límites de un proceso
dinámico en el que dos cargas eléctricas iguales pero de
signos contrarios se van aproximando, de modo que sus cargas
eléctricas van aumentando, pero permaneciendo constante el
producto de la carga eléctrica por la distancia entre los
puntos (el momento eléctrico), hasta llegar a confundirse los
dos puntos en uno solo que no tendría carga (por tener dos
cargas iguales infinitas pero de signo contrario), que tampoco
tendría extensión, lo único que tendría el punto es un momento
eléctrico. Lo mismo puede decirse de los dipolos magnéticos, y
al igual que en el caso de los dipolos, dos superficies
iguales con polos magnéticos puntuales iguales y opuestos que
se aproximan hasta confundirse en una sola, de modo que el
momento magnético puntual integrado a lo largo de la
superficie es finito, se transforma en una hoja magnética,
objeto físico muy importante que da origen a la teoría del
potencial de doble estrato, esencial en la Física
Matemática.
Cuando se dice que un
punto no tiene partes o que no tiene extensión, se está
transformando en estático un proceso dinámico que consiste en
un segmento rectilíneo que se va haciendo cada vez más
pequeño, se va desvaneciendo hasta desaparecer y entonces el
resultado final de este proceso es el punto. Nos recuerda el
pasaje de Alicia en el País de las Maravillas del gato que
sonríe, que se va desvaneciendo hasta convertirse en una
sonrisa sin gato, algo que no había visto nunca
Alicia.
En la definición 4 de
recta y en los postulados I y II se está pensando en la línea
que trazamos en un papel con ayuda de una regla, que puede
prolongarse cuanto se quiera y que no deja ningún agujero a lo
largo de ella, que es la percepción visual de la continuidad.
Cuando se dice que "se halla igualmente dispuesta con respecto
a todos sus puntos", se quiere decir que no existen sobre ella
puntos privilegiados, se está reconociendo implícitamente la
igualdad de todos los puntos de la recta. De esta propiedad
solamente gozan la recta y la circunferencia, pero las
definiciones 4 y 15 las distinguen sin confusión. También la
percepción visual nos indica que dos puntos cualesquiera
pueden unirse por una sola recta.
Hasta que no aparecen
los modelos euclídeos de geometrías no euclídeas, no se está
en condiciones de distinguir entre dos cualidades de la recta
que son su extensión y su longitud, la primera es la propiedad
que tiene la recta de ser el soporte de puntos, y la segunda
viene dada por la distancia entre dos puntos. Hoy podemos
decir que la recta euclídea tiene extensión y longitud
infinitas; la recta hiperbólica tiene extensión finita y
longitud infinita, ambas son abiertas; la recta elíptica tiene
longitud finita y extensión finita o infinita según el modelo,
es cerrada.
Cuando se dice que la
recta no tiene anchura, se quiere decir que si de una banda
plana se suprime una recta paralela a los bordes de la banda,
sigue teniendo la misma anchura. Lo mismo si se suprime un
segmento rectilíneo, pero la topología ha cambiado, la banda
ha dejado de ser simplemente conexa. Al decir que "se halle
igualmente dispuesto con respecto a todas sus rectas", se
quiere decir que no hay rectas privilegiadas, se proclama la
igualdad de todas las rectas del plano. Esta propiedad la
comparte el plano con la esfera. Lo que se ha dicho de las
rectas euclídeas, elípticas e hiperbólicas se puede decir de
los planos.
Al definir el
círculo, definición 15 y postulado III se está visualizando lo
que se puede dibujar sobre un papel con un compás cuya
abertura puede modificarse. Pero de este postulado se han dado
dos versiones diferentes, una en la que se dice "radio
arbitrario" y otra en la que se dice "radio de cualquier
distancia" que son muy distintas, la primera es más general,
la segunda solamente vale para un espacio métrico, es más
restringida.
Con esta definición
de círculo se define una convergencia para las sucesiones de
puntos del plano, pero no una topología. Para definir una
topología sería necesario un postulado más:
· III bis. para
todo círculo, en todo punto interior al mismo se puede trazar
otro círculo, cuyo centro sea este punto, y cuyos puntos sean
todos interiores al primer círculo.
Un conjunto abierto
sería entonces, el que en todo punto del mismo como centro se
pueda trazar un círculo contenido en el conjunto. Los círculos
serían conjuntos abiertos (excluida la
circunferencia).
Provistos de regla y
compás, pero utilizando la regla para trazar rectas, no para
medirlas o transportarlas, se pueden realizar muchas
construcciones geométricas, pero ya los griegos se dieron
cuenta de que otras muchas no pueden realizarse como son la
duplicación del cubo (hallar un cubo cuyo volumen sea el doble
de otro), la trisección del ángulo (dividir un ángulo en tres
partes iguales), la cuadratura del círculo (construir un
cuadrado cuya área sea igual a la de un círculo dado). Este
último es el más importante, su imposibilidad se demostró por
Lindemann en 1882, al demostrar que el número pí es
trascendente. Los griegos utilizaron instrumentos mecánicos
para realizar construcciones geométricas.
Mediante un
movimiento un segmento rectilíneo se puede llevar a la recta
soporte de otro segmento de modo que coincidan un extremo del
primero con un extremo del segundo, y de este modo compararlos
resultando que forman un conjunto totalmente ordenado que es
un grupo aditivo porque los segmentos colineales se pueden
sumar y restar, forman un conjunto denso, es decir que dados
dos segmentos, existe siempre uno que es menor que uno de los
dos anteriores y mayor que el otro; no existe un último
elemento, porque por grande que sea un segmento existe otro
mayor. Al ser denso se puede transformar en continuo
completándolo con las cortaduras de Dedekind.
Multiplicar un
segmento por un número natural n es sumar n veces el mismo.
Multiplicarlo por -1 es cambiarlo de orientación, Dividir un
segmento por un número natural n es hallar otro segmento que
sumado n veces dé el anterior; esto último es una definición
cuya existencia hay que probar, se puede hacer utilizando las
propiedades de los triángulos semejantes que tienen un ángulo
común.
Una vez definidas la
multiplicación y división de un segmento por un número entero,
queda automáticamente definida la multiplicación por un número
racional. Por ser continuo el grupo de los segmentos, una vez
definida la multiplicación por un número racional, se puede
definir la multiplicación por un número real; si se postula
que el grupo de los segmentos es arquimediano, lo que se hace
mediante cortaduras de Dedekind. Resulta que el conjunto de
los segmentos colineales forma un espacio vectorial sobre el
cuerpo de los números reales. Los segmentos que resultan de
multiplicar un segmento por un número racional cualquiera se
llaman conmensurables, y si es por un número irracional se
llaman inconmensurables.
Recíprocamente dados
dos segmentos cualesquiera siempre uno de ellos es el producto
del otro por un número real, y este último es el producto del
primero por el número real inverso del anterior. Ello resulta
de la teoría de las proporciones, de las funciones
trigonométricas, de las propiedades de los triángulos
semejantes que tienen un ángulo común, de la proporcionalidad
entre los lados de un triángulo y los senos de los ángulos
opuestos. Se tiene que el cociente de dos segmentos es un
número real, que es aquel por el que hay que multiplicar el
denominador para obtener el numerador. Véase
bibliografía.
Los griegos sabían
que 2½ es el cociente de dividir la diagonal por el lado del
cuadrado y que pí es el cociente de dividir la longitud de la
circunferencia por el diámetro. Leonardo de Vinci medía la
longitud de una circunferencia midiendo el recorrido sobre el
suelo de una rueda que rodaba sobre el mismo, cuando daba una
vuelta completa. Omar Jayyam (1048?-1122) y Nasîr-Eddîn
(1201-1274) tenían ya una idea muy clara de que la razón de
dos magnitudes conmensurables o no, es un número. Sobre el
gran poeta y sabio persa Omar Jayyam cuenta el literato árabe
moderno Amin Maalouf en "Samarcanda" que en su tratado de
álgebra utiliza la palabra árabe shay, que significa cosa,
para designar la incógnita; y que los árabes españoles en vez
de shay escribían xay, lo que ha dado origen a la utilización
abreviada de la x para designar a la incógnita.
A pesar de que
Eudoxio de Cnido dicen que utilizó el axioma de Arquímedes (el
V) como un lema, Euclides no lo enunció explícitamente, pero
si hizo un uso implícito de él, y es que la existencia de las
paralelas implica el axioma de Arquímedes, y sin axioma de
Arquímedes no hay paralelas, al menos en mi opinión. De los
postulados de Euclides y de las propiedades del grupo de
segmentos no se deduce el axioma de Arquímedes, pero sí se
puede demostrar a partir de la existencia de paralelas y de la
proporcionalidad entre los lados de un triángulo y los senos
de los ángulos opuestos, porque de ellos se sigue que el
producto de un segmento por un número natural variable llega a
ser mayor que cualquier segmento por grande que
sea.
De las propiedades
anteriores del grupo aditivo de los segmentos se sigue una
definición de punto, es el elemento neutro de la adición de
segmentos.
Las operaciones con
segmentos que hemos expuesto anteriormente se pueden realizar
sin necesidad de definir una unidad, pero para las que vamos a
definir ahora requieren definir una unidad que puede ser
cualquier segmento escogido arbitrariamente. Son éstas el
producto de segmentos, las potencias enteras (positivas y
negativas), las raíces cuadradas, y las potencias
semienteras.
La multiplicación de
segmentos lleva a la noción de área, pero también de otras
magnitudes como por ejemplo los momentos de inercia que aunque
introducen otra magnitud, que es la masa, si son cuerpos
homogéneos (de la misma densidad) se puede prescindir de la
masa y se comportan como magnitudes geométricas. También los
momentos de vectores son productos de segmentos, y como las
fuerzas y las velocidades tienen carácter vectorial, los
momentos de las fuerzas y los momentos cinéticos se
representan por productos de segmentos. También las seis
coordenadas de una recta (superabundantes, pues solamente hay
cuatro independientes) que se utilizan en la geometría
reglada, tres de ellas son las componentes de un vector, son
segmentos, y las otras tres son las componentes del momento de
un vector, son productos de dos segmentos.
Para la
multiplicación de segmentos y para las potencias enteras se
pueden utilizar las propiedades de los triángulos semejantes
que tienen un ángulo común, o la propiedad que tiene la altura
perpendicular a la hipotenusa de ser media geométrica de las
proyecciones de los dos catetos sobre la hipotenusa; pero para
las raíces cuadradas solamente la última. Véase
bibliografía.
Escogido un segmento
arbitrario como unidad, se puede definir una norma (longitud)
sobre el espacio vectorial de los segmentos (como vectores)
igual al valor absoluto del número real cociente del segmento
al dividirlo por la unidad. El espacio vectorial de los
segmentos es normado y los puntos del espacio euclídeo forman
un espacio métrico siendo la distancia entre dos puntos igual
a la norma del segmento que une dichos puntos. Al definir la
multiplicación y división de segmentos queda definida una
álgebra normada en el espacio vectorial normado de los
segmentos. Véase bibliografía.
En el siglo XVII se
produce una revolución en la geometría al crear Descartes
(1596-1650) la geometría analítica que aplica los métodos del
álgebra y del análisis a la geometría. Existen desde entonces
netamente distinguibles, aunque a veces puedan actuar
conjuntamente, dos métodos de hacer progresar la geometría: el
analítico (el nuevo) y el sintético que no utiliza el cálculo.
El empleo del análisis hace más rica la geometría porque
introduce los puntos impropios (puntos del infinito) que están
todos sobre la misma recta, la recta impropia (la del
infinito), para poder manejarlos hay que utilizar coordenadas
cartesianas homogéneas. Se introducen también figuras
imaginarias, por ejemplo las intersecciones de una
circunferencia y una recta exterior (no secante) son dos
puntos imaginarios. Dos circunferencias cualesquiera se cortan
en dos puntos reales, en un punto real doble (el de contacto)
si son tangentes o en dos puntos imaginarios si son
exteriores. Desde un punto interior a una circunferencia se
pueden trazar dos rectas imaginarias tangentes a la
circunferencia; si este punto es el centro las tangentes son
las rectas isótropas, perpendiculares a sí mismas y más
concretamente que forman consigo mismas un ángulo
indeterminado. Todas las circunferencias cortan a la recta
impropia en dos puntos fijos imaginarios que son los puntos
cíclicos, las rectas que los unen con el centro de la
circunferencia son las rectas isótropas. Se definen
circunferencias y elipses imaginarias, que tienen aplicaciones
físicas.
Aumenta el grado de
abstracción de la geometría porque los elementos imaginarios
no son visibles ni se pueden dibujar sobre el papel, pero se
puede operar con ellos con la misma seguridad que con los
reales, y obtener nuevas transformaciones geométricas y nuevas
propiedades y teoremas, de modo que se pasa de lo real a lo
imaginario y viceversa. Lo que no perciben los sentidos lo
percibe la inteligencia. Otra consecuencia muy importante de
la geometría analítica es el acceso al estudio de los espacios
de n dimensiones (n>3).
El concepto de
circunferencia y de esfera se generaliza sin dificultad a más
de tres dimensiones y se obtienen fórmulas integrales que dan
el área y el volumen de estas hiperesferas. Pero la
generalización también puede hacerse en sentido descendente y
así he definido el que he llamado bipunto (los dos extremos de
un segmento). He extendido las nociones de área y de volumen
de la hiperesfera al bipunto y he obtenido el número 2 y la
longitud del segmento. Así mismo las he extendido al punto
(circunferencia de una sola dimensión) y he obtenido para el
volumen el número 1 y para el área la función singular delta
de Dirac.
Hay veces que un
cambio de definición de una figura o de una transformación
geométrica lleva consigo una generalización y la obtención de
nuevas propiedades. Así por ejemplo dos circunferencias se
llaman ortogonales si se cortan en ángulo recto, pero si una
de ellas es real y la otra es imaginaria (de centro real y
radio imaginario) no está definido el ángulo con el que se
cortan, pero se puede extender la definición de ortogonalidad
anterior por la que le es equivalente de que el cuadrado de la
distancia de sus centros es igual a la suma de los cuadrados
de sus radios (el cuadrado del radio de una circunferencia
imaginaria es negativo) y entonces si existen dos
circunferencias, una real y otra imaginaria que son
ortogonales, lo que no existen es dos circunferencias
imaginarias ortogonales.
Dos circunferencias,
una real y otra imaginaria, del mismo centro, son ortogonales
si los valores absolutos de sus radios son iguales, porque la
distancia de sus centros es nula. Con esta definición de
ortogonalidad son ortogonales dos bipuntos que formen una
cuaterna armónica. Una circunferencia de radio nulo es un
punto y con la definición anterior de ortogonalidad, todo
punto de una circunferencia es una circunferencia de radio
nulo ortogonal a la anterior. Pero para admitir sin
contradicción esta proposición hay que considerar la
circunferencia de radio nulo como el límite de una
circunferencia cuyo radio tiende a cero, de modo que esta
circunferencia es una circunferencia tangente a un diámetro de
la anterior en uno de sus extremos, por tanto que tiene su
centro sobre la tangente a la anterior en el extremo del
diámetro y cuyo centro se aproxima a lo largo de la tangente
indefinidamente al punto de contacto (el extremo del diámetro)
hasta confundirse con él. En este caso una circunferencia de
radio nulo no es un concepto estático sino que es el resultado
límite del proceso dinámico antes descrito. Las
circunferencias de radio nulo y del mismo centro son
ortogonales a sí mismas (son isótropas).
He definido la razón
doble de dos circunferencias como la razón doble de los cuatro
puntos de intersección de las dos circunferencias con su
diámetro común, la cual es igual a -1 si las dos
circunferencias son ortogonales. Esta definición generaliza el
concepto de ángulo a dos circunferencia reales que no se
cortan y a circunferencias reales e imaginarias. Esta razón
doble es también la razón doble de las cuatro intersecciones
de las dos circunferencias con una circunferencia cualquiera
que sea ortogonal a las dos anteriores. La razón doble
degenera en una razón simple de tres puntos si una
circunferencia degenera en una recta. Generaliza el concepto
de ángulo a bipuntos y es extensible a esferas. Es una nueva
definición proyectiva de ángulo. Véase
bibliografía.
Se puede aplicar un
principio de inducción completa en la geometría euclídea de n
dimensiones, demostrando que si un teorema o construcción
geométrica es válido en un espacio euclídeo de n-1 dimensiones
es válido para uno de n dimensiones. Así he podido demostrar
(véase bibliografía) que:
· 1. el número máximo de esferas
ortogonales dos a dos en un espacio euclídeo de n dimensiones
es n+2, de la que una es imaginaria. Resultado válido también
para la recta.
· 2. los centros de las n+1 esferas reales
ortogonales son los vértices de un n+1-edro ortocéntrico de
ortocentro interior (el ortocentro es el punto en el que se
cortan las alturas).
· 3. el centro de la esfera
imaginaria ortogonal a las anteriores es el ortocentro.
·
4. una cara cualquiera de este n+1-edro es un n-edro del
espacio euclídeo de n-1 dimensiones, también ortocéntrico, en
el que sus n vértices son los centros de n esferas reales, y
su ortocentro el centro de una esfera imaginaria, ortogonales
dos a dos.
· 5. la esfera sección por dicha cara de la
esfera real cuyo centro es el vértice opuesto del n+1-edro, es
una esfera imaginaria, la misma que la esfera sección por la
anterior cara de la esfera imaginaria cuyo centro es el
ortocentro del n+1-edro.
Se puede continuar
este proceso de paso de un n+1-edro a un n-edro hasta llegar
al tetraedro, el triángulo y la recta, figuras geométricas que
nos son más familiares.
Los resultados
anteriores permiten construir un n+1-edro ortocéntrico en un
espacio euclídeo de n dimensiones. Así como todos los
triángulos son ortocéntricos, no sucede lo mismo desde el
tetraedro hacia arriba. En un n+1-edro ortocéntrico, los
vértices y el ortocentro son n+2 puntos, de los cuales n+1
cualesquiera pueden considerarse como vértices y el punto
restante es el ortocentro, de modo que existen n+2 distintos
n+1-edros ortocéntricos obtenidos todos a partir de uno
cualquiera de ellos, pero de todos estos solamente hay uno que
tenga interior el ortocentro.
El V postulado de
Euclides, el de las paralelas, tiene una singular historia, el
propio Euclides y sus primeros comentaristas dudaron de si se
trataba de un postulado o si se podía considerar una
proposición demostrable, por lo que procuraron evitar, si era
posible, en sus demostraciones el uso del V postulado y por
esta razón todos los teoremas y construcciones que no
requieren el uso del V postulado forman la geometría absoluta,
mientras que los otros forman la geometría euclídea
propiamente dicha. |
![]() |
Las geometrías no
euclídeas clásicas parten de negar el V postulado y hay dos,
una de ellas la hiperbólica, en la que por un punto se pueden
trazar dos paralelas a una recta dada, y la elíptica en la que
no existen rectas paralelas. Toda teoría científica tiene una
historia y una prehistoria. La prehistoria de la geometría no
euclídea nace en el siglo XVIII con Saccheri y Lambert y la
historia en el siglo XIX con Lobatschewski y
Bolyai.
Antes del siglo XVIII
hay intentos fallidos de demostrar el V postulado, algunos de
ellos muy ingeniosos. Es Saccheri (1667-1733) quien en su
Lógica demostrativa y en "Euclides ab omnis naevo vindicatus"
publicado el año de su muerte, utiliza una figura que no
existe en la geometría euclídea, pero sí en la no euclídea,
que es el cuadrilátero birrectángulo isósceles (en la
geometría euclídea sería forzosamente un rectángulo), haciendo
la hipótesis de que los dos ángulos no rectos, que son iguales
sean un ángulo agudo, recto u obtuso. Entre otras importantes
conclusiones llega a que según se verifique la hipótesis del
ángulo agudo, recto u obtuso, la suma de los ángulos de un
triángulo será menos, igual o mayor que dos rectos. Como es
natural no consigue demostrar que el V postulado es verdadero,
pero su obra es muy notable porque si bien considera que la
hipótesis del ángulo obtuso es falsa (lo que no es verdad), no
descubre contradicciones en la hipótesis del ángulo agudo y la
niega por considerarla contraria a la naturaleza de la línea
recta. Al no descubrir contradicciones en la hipótesis del
ángulo agudo, se establece la duda muy razonable de que el V
postulado sea indemostrable y que se pueda construir una
geometría consistente negándolo. Saccheri estuvo muy difundido
en el siglo XVIII, pero luego cayó en el olvido, hasta que
Beltrami en 1889 en una nota en los Rendiconti de la Academia
de Lincei, titulada "un precursor italiano de Legendre y
Lobatschewski" lo volvió a colocar en su sitio, consiguiendo
que su obra fuera traducida al inglés (1894), al alemán (1895)
y al italiano (1904).
Lambert (1728-1777)
en su "Theorie des Parallellinien" (1766), publicada en 1786
después de su muerte, utiliza una figura que es el
cuadrilátero trirrectángulo, que tiene tres ángulos rectos y
el cuarto a priori desconocido, el cual puede ser agudo, recto
u obtuso. La hipótesis del ángulo recto conduce a la geometría
euclídea, la del ángulo obtuso la rechaza (equivocadamente) y
en la del ángulo agudo obtiene varias conclusiones
importantes. Desde Saccheri y Lambert los precursores de la
geometría no euclídea hasta los fundadores: Lobatschewski
(1829) y Bolyai (1832) transcurre entre medio y un siglo. En
este tiempo se sigue pensando y escribiendo sobre esta
materia: D'Alambert (1736-1813), Legendre, Schweikart
(1780-1859), Taurinus (1794-1874) con importantes resultados
analíticos. De la relación de Gauss con la geometría no
euclídea me he ocupado en otras ocasiones.
Indudablemente es
Lobatschewski el verdadero creador de la geometría no euclídea
y quien por primera vez le dio un gran desarrollo. El 11 de
febrero de 1826 leyó una memoria en la Universidad de Kazán,
donde por primera vez hace una exposición de su nueva
Geometría, esta memoria no se publicó y el manuscrito se ha
perdido. En 1829 publicó una memoria en "El Mensajero de
Kazán", que es la primera obra larga e importante, de la
geometría no euclídea, que él llamó imaginaria y que hoy
llamamos hiperbólica. En los años treinta siguió publicando
sobre esta materia y en 1840 publicó en alemán sus
"Investigaciones geométricas sobre la teoría de las
paralelas". Su última obra publicada en ruso y en francés, lo
fue en 1855 y llevaba por título "Pangeometría", contiene una
exposición muy completa de su nueva geometría.
Bolyai (1802-1860)
independientemente de Lobatschwski, llegó a la misma nueva
geometría; sus trabajos fueron publicados en forma de apéndice
en el primer tomo de un libro de su padre Wolfgang, titulado
"Tentamen..." en 1832.
En el momento de su
descubrimiento la geometría no euclídea no llamó demasiado la
atención, a pesar de su gran importancia y de la novedad y la
originalidad de la misma, que iba en contra de nuestra
intuición y experiencia física. A partir de los años sesenta
del siglo XIX se despierta un gran interés por ella y se
profundiza su estudio siguiendo dos grandes direcciones la de
la geometría diferencial y la de la proyectiva. Gauss había
profundizado mucho en el estudio de la geometría diferencial,
señalando como toda superficie tiene una geometría intrínseca,
que le es propia, independiente de la geometría del espacio en
que está inmerso; es notable su obra de 1827 "Investigaciones
generales sobre superficies curvas". Un paso decisivo en esta
dirección lo dio Riemann que a partir de su discurso de
habilitación para la Universidad de Göttingen en 1854
(Publicado en 1867) y de un trabajo sobre la conducción del
calor presentado a un premio de la Academia de Ciencias de
París, que no lo obtuvo, desarrolló la teoría de los espacios
que llevan su nombre, espacios de n dimensiones, con una
geometría diferencial propia en la que todas sus propiedades
métricas están implícitas en el elemento lineal que es una
forma cuadrática homogénea de las diferenciales de las
coordenadas. A partir de ella se obtienen las geodésicas que
son la distancia más corta entre dos puntos, y se introduce el
concepto de curvatura, que será muy importante para la
Relatividad de Einstein. Este concepto de curvatura,
generaliza el que Gauss había introducido para las
superficies.
Estaba latente el
problema de encontrar, si es que existía, una superficie cuya
geometría intrínseca fuera la del plano de
Lobatschewski-Bolyai. Para ello era necesario encontrar
superficies que puedan moverse con flexión, pero sin
extensión, sobre sí mismas, como lo hace un plano, de modo que
pueda definirse una igualdad entre figuras sobre la
superficie, tal que figuras iguales se puedan superponer
mediante un movimiento sobre la superficie. Para que dos
superficies sean aplicables la una sobre la otra, la curvatura
de Gauss ha de ser la misma en puntos homólogos (aplicados los
unos sobre los otros). Minding demostró que si la curvatura es
constante, la superficie puede moverse libremente sobre sí
misma.
Beltrami en dos
memorias publicadas en 1868 que llevan por títulos: "Ensayo de
interpretación de la geometría no euclídea" y "Teoría de los
espacios de curvatura constante" reconoció que las superficies
de curvatura constante son planos no euclídeos; demostró que
la geometría de una parte, pero sólo de una parte, del plano
de Lobatschewski es la misma que la geometría intrínseca de la
pseudoesfera, si las longitudes y los ángulos del plano no
euclídeo se toman iguales a las longitudes y ángulos de las
geodésicas de la pseudoesfera. Sobre ésta puede moverse una
figura, de modo que solo con curvarla se puede ajustar a la
superficie de la pseudoesfera. Es el primer modelo euclídeo de
geometría hiperbólica (de Lobatschewski). La pseudoesfera es
una superficie de curvatura constante negativa, es engendrada
por la revolución de una tractriz alrededor de su asíntota, la
tractriz es una curva para la que es constante la longitud de
la tangente comprendida entre el punto de contacto y la
asíntota, su evoluta es una catenaria.
Al demostrar Beltrami
que podía representarse una parte del plano hiperbólico sobre
la pseudoesfera, quedaba abierto el problema de si podía
representarse el plano hiperbólico completo sobre alguna
superficie de curvatura constante negativa.
Hilbert en 1901
mejorando un resultado anterior de Helmholtz que había
demostrado que no existe ninguna superficie de curvatura
negativa constante que puede extenderse en todas direcciones,
demostró que no existe ninguna superficie analítica, regular
por todas partes, sin singularidades y de curvatura negativa
constante sobre la cual se verifique en su integridad el plano
de Lobatschewski. Lo que contesta negativamente el problema
abierto al final del párrafo anterior.
Saccheri y Lambert
habían rechazado la hipótesis del ángulo agudo por considerar
la recta infinita. Riemann sustituyó esta idea por la de recta
ilimitada, afirmaba que "la propiedad del espacio de ser
ilimitado posee, pues una certeza empírica... si se atribuye
al espacio una curvatura constante positiva el espacio será
necesariamente finito". Para Riemann el postulado que atribuye
a una recta una longitud infinita, es tan discutible como el
postulado de las paralelas, lo que para él es indiscutible es
el espacio ilimitado. El plano (no euclídeo) elíptico lleva
hoy también el nombre de Riemann, en él las geodésicas son
cerradas, de longitud finita y se cortan todas. La idea de un
universo curvo, finito pero ilimitado adquirió gran
importancia con la Cosmología Relativista.
La otra línea de
pensamiento que se siguió para la investigación de la
geometría no euclídea fue el de la geometría
proyectiva.
A esta dirección
están asociados los nombres de Cayley (1821-1895) y Klein
(1848-1925). Este último en 1871 (aunque publicado en 1874)
distinguió entre dos clases de planos elípticos, que son el
doblemente elíptico o esférico, y el simplemente elíptico. Un
modelo del primero es la esfera en el que dos puntos no
siempre determinan una recta (si son diametralmente opuestos)
y un modelo del segundo es un hemisferio , que lleve incluido
su frontera (el plano diametral), pero en él que deben
identificarse como un solo punto, los dos puntos
diametralmente opuestos de la frontera. Las líneas geodésicas
son las semicircunferencias de los círculos máximos, que son
curvas cerradas al identificase en un solo punto sus dos
extremos, las distancias no euclídeas son los arcos de
geodésicas medidos euclidianamente y los ángulos coinciden con
los euclídeos.
Beltrami había
reconocido que el plano elíptico podía representarse sobre una
superficie de curvatura constante positiva y Liebmann en 1899
demostró que una superficie analítica, cerrada, libre de
singularidades y de curvatura constante positiva
necesariamente es una esfera.
Poincaré dio otros modelos
euclídeos de geometrías no euclídeas, utilizó las propiedades
del plano hiperbólico en sus investigaciones sobre las
funciones automorfas, realizadas entre 1881 y 1884. Las
funciones automorfas son funciones de variable compleja,
invariantes para las transformaciones homográficas (de
determinante igual a 1), de las que son casos particulares las
funciones trigonométricas y las elípticas. Para Poincaré el
hecho de poder construir modelos euclídeos de las geometrías
elíptica e hiperbólica, hace que toda contradicción en ellas
arrastraría una contradicción en la geometría euclídea, por lo
que la consistencia de las tres geometrías está
indisolublemente ligada. El V postulado de Euclides no es
verdadero ni falso, puesto que tanto su afirmación como su
negación conducen a geometrías distintas, que son coherentes y
consistentes.
Otro modelo euclídeo
de plano elíptico interesante fue dado por Klein, es la
sección por un plano de una radiación de rectas y planos,
asociado a la polaridad absoluta (ortogonal).
Laguerre (1834-1886)
en 1853, a la edad de 19 años, dio la primera definición
proyectiva de ángulo como proporcional al logaritmo de la
razón doble de la cuaterna de rectas formada por los lados del
ángulo y las rectas isótropas que pasan por el vértice del
ángulo, es decir que proyectan desde este vértice los puntos
cíclicos de Poncelet (el absoluto de Laguerre). Cayley y
Klein, generalizaron este descubrimiento de Laguerre y
subordinando la geometría métrica a la proyectiva, mediante el
uso de formas cuadráticas de las coordenadas (que recuerdan
las de Riemann de las diferenciales de las coordenadas),
definieron la distancia y el ángulo como magnitudes
proporcionales a logaritmos de razones dobles, sustituyendo
los puntos cíclicos por un nuevo absoluto: una cónica en el
plano y una cuádrica en el espacio. De modo que la distancia
de dos puntos es proporcional al logaritmo de la razón doble
de una cuaterna de puntos, formada por los dos puntos y las
intersecciones de la recta que une los puntos con el absoluto;
así mismo el ángulo de dos rectas es proporcional al logaritmo
de la razón doble de una cuaterna de rectas, formada por los
lados del ángulo y las tangentes al absoluto que pasan por el
vértice del ángulo. Véase mi Geometría Analítica y
Proyectiva.
A fines del siglo XIX
surge un gran interés por los fundamentos de las Matemáticas y
en particular de la Geometría euclídea. Pasch (1843-1931) en
su curso sobre la nueva Geometría, cuya primera edición es de
1882 y que fue reeditada y revisada por Dehn (1878-1952) en
1926, es un pionero en esta nueva línea de buscar una
axiomática, e introdujo un nuevo axioma que lleva su nombre y
que se ha hecho célebre; afirma "sean A, B y C tres puntos no
alineados y sea a cualquier recta del plano determinado por A,
B, C, y que no pase por ninguno de estos tres puntos. Si a
pasa por algún punto del segmento AB, también debe pasar por
algún punto del segmento AC o por algún punto del segmento
BC".
Es curioso que el
axioma de Pasch que es tan perceptible, puesto que es
imposible dibujar en un papel, cualquier que sea su tamaño, un
triángulo en el que no se cumpla el axioma de Pasch, incluso
en un triángulo degenerado en el que un vértice está en el
infinito, no se haya formulado hasta fines del siglo XIX. En
cambio la existencia de paralelas y el V postulado de
Euclides, se formularon desde el principio, aunque para
contrastarlo por la percepción visual se requeriría un papel
de dimensiones infinitas.
En mis
investigaciones sobre geometrías euclídeas y no-euclídeas en
espacios que no sean simplemente conexos (conexión lineal o
superficial) he encontrado triángulos no paschianos, en los
que no se cumple el axioma de Pasch. Ver más
adelante.
La obra maestra en
este campo, aunque no la única son "Los fundamentos de la
Geometría" de Hilbert, cuya primera edición es de 1899, fue
reeditada y revisada varias veces hasta alcanzar la séptima
edición en 1930. Voy a referirme a esta última, en ella
Hilbert utiliza veinte axiomas que divide en cinco grupos: el
primero consta de ocho, que son los de incidencia o conexión,
que establecen el enlace entre los entes geométricos básicos:
puntos, rectas y planos, que deja indefinidos. El segundo
grupo consta de cuatro, que son los de ordenación, que definen
el concepto de "estar entre" y ordenan los puntos sobre una
recta; el cuarto axioma de este grupo es el de Pasch. El
tercer grupo consta de cinco, que son los de congruencia, que
definen el concepto de movimiento y establece la igualdad o
congruencia de segmentos y ángulos, permite el transporte y la
adición de segmentos y ángulos y comprobar su igualdad por
superposición, y permite comparar entre sí la magnitud de los
segmentos; define los ángulos rectos y su igualdad. El cuarto
grupo consta de un solo axioma, que es el de las paralelas (el
V postulado de Euclides), permite demostrar que la suma de los
ángulos de un triángulo vale dos rectos, y permite definir y
probar la existencia de la circunferencia. El quinto grupo
consta de dos axiomas, los de continuidad, son los de
Arquímedes y el de la plenitud, para establecer una
correspondencia entre los puntos de la recta y los números
reales, lo que para él demuestra la identidad de su geometría
con la geometría analítica de Descartes.
En este libro, en el
apéndice III, expone una axiomática del plano hiperbólico
(plano de Lobatschewski-Bolyai) basado en cuatro grupos de
axiomas. El primero formado por tres axiomas, que son los de
incidencia y conexión, que son los tres primeros utilizados
para la geometría euclídea; suprime los cinco siguientes, en
los que interviene el plano. El grupo segundo son los mismos
cuatro axiomas del grupo segundo de la geometría euclídea,
incluido el axioma de Pasch. El grupo tercero también es el
mismo de la geometría euclídea. El grupo cuarto está formado
por un solo axioma, que sustituye al de las paralelas, que él
llama de las rectas secantes y no secantes que afirma "Sea una
recta cualquiera b y un punto A no situado en ella, existen
siempre dos semirrectas a1 y a2 que pasan por A, que no
constituyen una sola recta y que no cortan a la recta b,
mientras que toda semirrecta que pasa por A, situada en el
espacio angular formado por a1 y a2 corta a la recta b". Los
axiomas de continuidad son necesarios.
El conjunto de los
segmentos hiperbólicos es también continuo y arquimediano,
pero cambia la definición de distancia que ya no es la
longitud l del segmento sino que es RArg.Th(l/R) siendo R una
constante, que es una unidad natural de medida que existe en
la recta hiperbólica.
En la recta euclídea
no existe ninguna unidad natural de medida. En el espacio
euclídeo, éste es único pero existen en él figuras semejantes,
por el contrario en el hiperbólico no existen figuras
semejantes, pero si existen espacios semejantes, al variar el
valor de R. La magnitud -1/R2 es la curvatura constante
negativa del espacio hiperbólico.
En el siglo XVIII se
estableció una trigonometría analítica en la que los ángulos
son los argumentos de las funciones trigonométricas, que se
expresan mediante funciones exponenciales de exponente
imaginario, lo que permite su estudio a través de sus
desarrollos en serie de potencias y de sus propiedades como
soluciones de ecuaciones diferenciales. Esta teoría analítica
es idéntica a la teoría geométrica en la que también puede
basarse la trigonometría. No deja de ser esto un hecho
sorprendente del comportamiento de la naturaleza.
En un
grupo arquimediano en el que existe la división por un número
natural, como operación inversa de la multiplicación, se
demuestra que dados dos elementos a y b, siendo a menor que b,
existe un número natural n, tal que b dividido por n es menor
que a, porque en caso contrario no se cumpliría el axioma de
Arquímedes. A este teorema propongo llamarle de la
divisibilidad indefinida. Recíprocamente si en un grupo
aditivo totalmente ordenado, en el que existe la división se
cumple el teorema anterior, el grupo es arquimediano, porque
se demuestra el axioma de Arquímedes como si fuera un
teorema.
Los ángulos son los
cocientes de dividir los arcos de una circunferencia por el
radio, luego son números reales, que son mayores o iguales que
cero y menores que 2*pí. Los ángulos se pueden sumar con una
nueva definición de suma que es la siguiente: si la suma
ordinaria de dos ángulos es menor que 2*pí, se toma la nueva
suma igual a la ordinaria; si es igual o mayor que 2*pí, la
nueva suma se toma igual a la suma ordinaria disminuida en
2*pí; en el primer caso la adición es compatible con la
relación de orden (de los números reales) y en el segundo no.
Los ángulos no forman grupo, sino un semigrupo con elemento
neutro para la adición y en el que es válida la regla de
simplificación que afirma que si a dos ángulos alpha y beta se
les suma un mismo ángulo gamma y se obtienen dos ángulos
iguales alfa+gamma y beta+gamma , entonces alfa es igual a
beta. Los ángulos se pueden multiplicar y dividir por un
número natural n. En el conjunto de los ángulos no vale el
axioma de Arquímedes, pero si el de la divisibilidad
indefinida.
Me parece que
cualesquiera que sea la axiomática de la geometría euclídea,
ha de conducir a una estructura del conjunto de los ángulos
descrito en los párrafos anteriores y del conjunto de los
segmentos a la estructura descrita en los párrafos anteriores
a hablar de la geometría analítica.
Me parece que la
axiomática de la geometría euclídea debe ser analítica y ésta
conduce a obtener por el cálculo el V postulado de Euclides,
el axioma de Arquímedes y el axioma de Pasch. La he
desarrollado pero todavía no la he publicado.
Cuando se dice que el
cociente de dos segmentos es un número real, se quiere decir
que escogido un segmento arbitrario e como unidad , existe una
biyección entre el conjunto de los segmentos delta y de los
números reales R, tal que al segmento e le corresponde el
número 1 y a cualquier otro segmento r le corresponde el
número real definido por el cociente r/e. El cambio de unidad
en delta se hace como el cambio de escala en un mapa. Se
obtiene deltan a partir de delta como Rn a partir de
R.
Cuando se dice que se
pueden identificar los puntos de una recta D con los números
reales (R) se quiere decir que existe una biyección de D sobre
R, tal que a dos puntos arbitrarios A y B le corresponden los
puntos 0 y 1, y a cualquier punto C de D le corresponde el
número real r, definido por el cociente AC/AB, que llamamos
abcisa de C; O es el origen de abcisas y AB el segmento
unidad. Véase bibliografía.
En los axiomas
(nociones comunes) de Euclides se emplean palabras que no
tienen una significación exacta y precisa, tal es el caso de
"añadir o sumar" y de "quitar o restar". Por ejemplo el axioma
III, que ha sido empleado por otros muchos autores y se sigue
usando, afirma que "Si a cosas iguales se restan cosas
iguales, los restos son iguales", pues bien este axioma vale
para segmentos y ángulos, en general para grupos aditivos y
semigrupos aditivos en los que vale la regla de
simplificación, pero el axioma III no es cierto en los
semigrupos aditivos en los que no vale la regla de
simplificación.
El espacio euclídeo
habitual E es simplemente conexo, pero existen otros modelos
de espacios euclídeos que no son simplemento conexos, dotados
de una métrica distinta pero equivalente. Uno de ellos es el
que he llamado (véase bibliografía) plano incompleto inversivo
PI, que es un plano euclídeo desprovisto de un punto P, en el
que los puntos son los mismos que los del plano euclídeo
(excepto P) y en el que las rectas son las circunferencias y
las rectas que pasan por P (excluido este punto P). Si se
invierte este plano con centro en P y potencia cualquiera, se
transforma en un plano euclídeo E, de modo que la distancia
entre dos puntos de PI es igual a la distancia euclídea entre
los dos puntos inversos, cuando se toma como potencia la
unidad. Los ángulos son los euclídeos.
Los triángulos están
formados por tres puntos cualesquiera de PI, que son los
vértices, unidos por "rectas de PI" (arcos de circunferencias
o partes de rectas que pasan por P) que son los lados. El PI
tiene curiosas propiedades, no es paschiano, entendiendo por
tal que hay triángulos para los que no se cumple el axioma de
Pasch.
Los triángulos no
paschianos (figura 1) son los que tienen los vértices A y C
sobre una recta que pasa por P, y están separados por P; si B
es el tercer vértice, los lados AB y BC son arcos de
circunferencias que pasan por P, y el tercer lado es la recta
APC, excluido el segmento AC. Por tanto las rectas que pasan
por P, que son rectas de PI (excepto las rectas PB y AC)
solamente cortan a uno de los lados AB o BC del triángulo, que
por tanto no es paschiano.
(fig. 1)
Todos los puntos del
infinito del palno euclídeo E se identifican en PI en uno solo
(infinito). Las rectas de PI paralelas, son las
circunferencias tangentes en P y la tangente a ellas en P. La
distancia de cualquier punto de PI a P vale infinito. En la
recta AC (figura 1) para ir de A a C o de C a A no se puede
hacer a través de P, sino a través de infinito de modo que el
punto M "está entre A y C" a pesar de estar en la figura fuera
de AC.
(fig. 2)
Los triángulos que
tienen los lados que son rectas que pasan por P tienen el
extraño dibujo de la figura 2. Un lado AB es el arco de la
circunferencia que pasa por P y los otros dos lados son la
parte AC (C=infinito) y BC de las rectas PA y PB, siendo el
punto C, tercer vértice del triángulo ABC el único punto del
infinito de PI.
Las circunferencias
SIGMA de PI y delta (figuras 3 y 4) se dibujan como
circunferencias euclídeas y rectas euclídeas que no pasan por
P. Si AB es el diámetro de la circunferencia euclídea (figura
3) SIGMA, si C es el punto P de PI, entonces el centro de la
misma circunferencia SIGMA del PI, es el conjungado armónico D
de C respecto a A y B, que es en el PI el "punto medio" de AB
(mientras que el punto medio de AB es el centro euclídeo de la
circunferencia euclídea). Los diámetros en el PI de SIGMA son
los arcos interiores a SIGMA de las circunferencias que pasan
por D y C (punto P del PI). El círculo es el interior de
SIGMA.
(fig. 3)
(fig. 4)
Si el punto P del PI
(figura 3) es ahora el D, interior a SIGMA, entonces el centro
de SIGMA de PI es el punto C exterior a SIGMA y los diámetros
son los arcos exteriores a SIGMA de las circunferencias que
pasan por C y D (ahora el punto P del PI). El círculo es el
exterior de SIGMA, C y D y exterior e interior de SIGMA
permutan sus papeles.
Hay pues casos en que
el punto medio de un segmento (el conjugado armónico de P
respecto a los extremos del segmento) está fuera del segmento,
pero equidista de sus extremos. Y también de que el centro de
una circunferencia sea exterior a la misma, pero equidista de
ella. Esto va en contra de la definición 16 de centro de un
círculo de Euclides, pero no contra la definición 15 de
circunferencia, lo que se ha cambiado es la definición de
distancia.
Una recta euclídea es
también una circunferencia delta de PI (figura 4), porque las
circunferencias de PI son las inversas de las circunferencias
de E. Las rectas son inversas de las circunferencias que pasan
por P por tanto son circunferencias de PI. Dada la
circunferencia SIGMA de diámetro PA tangente a AB en A, si
tomamos como centro de inversión P y como potencia de
inversión PA2 , la circunferencia de diámetro PA se transforma
en la recta AB, que es una circunferencia delta de PI, cuyo
centro es el inverso del centro de SIGMA, por tanto es un
punto O, tal que PA=PO y los diámetros los arcos de las
circunferencias que pasan por P y O contenidos en el semiplano
a la derecha de AB que es el círculo. Si se aplica la métrica
de PI para el cálculo de la longitud de delta y del área del
círculo (semiplano a la derecha de AB) se obtienen la longitud
y el área de SIGMA. Cualquier área del semiplano a la derecha
de AB limitado por dos paralelas a AB tiene un área finita, lo
que va contra el axioma IX de Euclides.
Como curiosidad
señalamos que la recta AB en la figura 2 es la circunferencia
del PI circunscrita al triángulo ABC (C=infinito).
Al suprimir el punto
P del PI en cualquier circunferencia, la ordenación es como la
de una recta, es decir, que dados tres puntos cualquiera, uno
de ellos está entre los otros dos, mientras que si no se
hubiera suprimido el punto P, cualquiera de los tres puntos
anteriores estaría entre los otros dos.
Lo anterior se
extiende a cualquier número de dimensiones. A partir de tres
dimensiones al suprimir un punto P, el espacio sigue siendo
simplemente conexo para la conexión lineal, pero no lo es para
la conexión superficial en el caso de tres dimensiones; sería
similar al que resulta de suprimir toda una esfera, o al que
hay en el interior de una corona esférica.
De la proyección
inversa de la estereográfica de una esfera, un plano euclídeo
E o un plano inversivo PI dan modelos con distinta métrica, de
estas geometrías, al suprimir el centro de proyección de la
esfera. El modelo inversivo es también el inducido sobre una
esfera que pasa por el punto P, por el espacio inversivo
incompleto.
Las exposiciones
abstractas de las geometrías hiperbólica y elíptica no
permiten dibujar sobre el papel las figuras y construcciones
de las mismas, ni plasmarlas en el espacio. Si observamos las
figuras que hay en los textos, como en el apéndice III de "Los
fundamentos de la Geometría" de Hilbert son solamente
ilustrativas para facilitar el entendimiento del razonamiento,
pero en sí no tienen contenido real, pueden ser sustituidos
por otros cualquiera; concretamente en la que utiliza para
enunciar el axioma de las rectas secantes y no secantes, las
dos semirrectas que utiliza se unen en un punto de retroceso,
cuando la recta es una curva contínua y diferenciable. La
existencia de modelos euclídeos de geometrías no euclídeas
permite dibujar sobre el papel propiedades y relaciones entre
los entes no euclídeos y utilizando los métodos de la
geometría descriptiva se pueden representar sobre el papel los
sólidos no euclídeos. Por ejemplo el cálculo abstracto de los
sentidos (propiedad física de las rectas hiperbólicas) se
puede concretar en un cálculo geométrico euclídeo concreto,
que he desarrollado y aplicado a la Cinemática de la Teoría de
la Relatividad.
Para definir un
modelo euclídeo de un espacio hiperbólico o elíptico es
necesario definir la métrica lineal (la distancia) mediante el
elemento lineal dr, lo que determina sus geodésicas o
distancias más cortas entre dos puntos (las rectas no
euclídeas), y la métrica angular es decir el coseno (o el
seno) del ángulo de dos geodésicas que se cortan en un punto;
y así mismo si el espacio euclídeo soporte es todo el espacio
euclídeo o un subespacio, o una superficie euclídea o parte de
la misma (esfera, pseudoesfera, ultimamente he utilizado el
hiperboloide de revolución para aplicarlo a la Cinemática
Relativista). Se impone la condición de que dos puntos
determinen una recta, tres puntos determinen un plano. El
modelo puede tener más de tres dimensiones.
Vamos a considerar
algunos de estos modelos sobre los que he investigado. De
estos unos son simplemente conexos y otros no (sea para una
conexión lineal o superficial). Son modelos de dos a n
dimensiones.
En el modelo H1 del
plano hiperbólico (simplemente conexo), conocido de antiguo,
las geodésicas son arcos de circunferencias ortogonales a una
circunferencia fija SIGMA (incluidos los diámetros) interiores
a la misma, que actúa como frontera, es el conjunto de los
puntos a distancia infinita. Los centros de las geodésicas son
exteriores a SIGMA. Los ángulos son los euclídeos, y la
métrica da una representación conforme de H1 sobre el espacio
euclídeo. Para definirlos en n dimensiones hay que sustituir
la circunferencia SIGMA por una esfera de n dimensiones. En el
caso de tres dimensiones los planos no euclídeos son los
casquetes interiores a la esfera fija SIGMA, de las esferas
ortogonales, y los círculos de los planos diametrales de SIGMA
que están sobre SIGMA. Las rectas no euclídeas (las
geodésicas) son las intersecciones de los planos no euclídeos.
He podido construir una geometría reglada hiperbólica en la
que las coordenadas de una recta son seis; las tres
coordenadas carterianas del centro de la circunferencia
euclídea soporte de la recta hiperbólica (a, b, c) y las tres
coordenadas pluckerianas (u, v, w) del plano diametral en que
está situada, pero de estas seis coordenadas solo hay cuatro
independientes, porque las tres u, v, w son homogéneas, pueden
ser sustituidas por números proporcionales, y además existe
una relación bilineal entre las seis coordenadas por estar el
punto (a,b,c) sobre el plano (u,v,w), que es que la suma de
los tres productos ua+vb+wc es igual a cero.
En H1 juega un papel
muy importante la inversión que suele dejar invariante el
espacio o transformarlo en otro semejante. Mientras que en el
espacio euclídeo E hay figuras semejantes, pero no hay dos
espacios semejantes, por ser único el espacio; en H1 sí cabe
la existencia de espacios semejantes, hay la posibilidad de
una pluralidad de mundos, pero dentro de un mismo H1 no hay
figuras semejantes. Si el radio R de SIGMA tiende a infinito
H1 tiende a E, y si R tiende a cero, H1 tiende a
desaparecer.
En H1 existen figuras
imaginarias, en el caso del plano hiperbólico son rectas no
euclídeas imaginarias, las circunferencias imaginarias
ortogonales a SIGMA (cuyos centros son interiores a SIGMA), lo
que me ha permitido desarrollar una trigonometría de los
triángulos imaginarios y de los cuadriláteros completos
imaginarios, existiendo rectas reales antiparalelas respecto a
un ángulo imaginario y rectas imaginarias antiparalelas
respecto a un ángulo real.
Mediante una
inversión que deje invariante SIGMA se puede transformar
cualquier punto A de H1 en su centro O, y O se transforma en
A. Si consideramos la inversión anterior como una
transformación de coordenadas, H1 goza de la propiedad que he
propuesto llamar isotópica que consiste en que a cualquier
observador situado en cualquier punto A de H1 le parece ver H1
igual, incluso si a O le parece que A está a su derecha o
encima, a A le parece que es O quien está a su derecha o
encima.
He podido demostrar
que así como en el plano no hay circunferencias imaginarias
ortogonales, por el contrario en el espacio sí hay
circunferencias imaginarias e incluso de radio cero
ortogonales a una circunferencia imaginaria.
Mediante una
inversión de centro O (centro de SIGMA) y potencia R2 (R radio
de SIGMA) el modelo hiperbólico H1 se transforma en el H2, que
no es simplemente conexo, del que no pueden coexistir más de
uno, a diferencia de lo que sucedía con H1. Dados un H1 y un
H2 con la misma frontera SIGMA, que los separa, existe una
biyección entre ambos, en la que los puntos homólogos, son dos
puntos inversos en la antecitada inversión. Las rectas no
euclídeas en H2 son los arcos de las circunferencias
ortogonales a SIGMA, exteriores a SIGMA y las rectas soportes
de los diámetros de SIGMA excluida la parte interior a SIGMA
(el diámetro).
Existen triángulos
parecidos a los de las figuras 1 y 2 como en PI, se
diferencian en que las circunferencias en vez de pasar por P
son ortogonales a una circunferencia de centro P (la SIGMA de
esa figura). Tampoco se cumple el axioma de Pasch para todos
los triángulos, hay triángulos no paschianos. En H2 para ir de
algunos puntos a otros hay que rodear SIGMA, no se puede
penetrar en SIGMA.
Una diferencia
topológica entre H1 y H2 es que en la primera las
circunferencias no euclídeas, se representan por
circunferencias euclídeas interiores a H1 con una definición
distinta de centro, radio y diámetros, mientras que en H2 ,
las circunferencias no euclídeas, cuya imagen rodea a SIGMA,
tienen su centro fuera de ella, su dibujo es parecido al de la
figura 3, pero los diámetros en vez de ser las circunferencias
que pasan por D (el punto P del PI) son ortogonales a una
circunferencia de centro en D (la SIGMA de esa figura).
También son circunferencias no euclídeas las partes de las
rectas que no cortan a SIGMA, exteriores a SIGMA. Ello es
debido a que las circunferencias de H2 son las inversas
respecto a O (centro de SIGMA) de las circunferencias de H1 ,
con potencia R2 (R radio de SIGMA) y por tanto las
circunferencias que pasan por O (interiores a SIGMA) se
tranforman en esta inversión en rectas no secantes a SIGMA. En
la figura 5 se ha representado una de éstas, la circunferencia
que pasa por O (interior a SIGMA) se transforma en esta
inversión en la recta d, circunferencia no euclídea de H2 ,
cuyo centro es el punto C (inverso del centro de la
circunferencia de diámetro OA), y los diámetros son los arcos
de las circunferencias ortogonales a SIGMA que pasan por C y
están en el semiplano a la derecha de delta.
(fig.
5)
Si en los modelos
anteriores se sustituye SIGMA por una circunferencia (o una
hiperesfera en caso de n dimensiones) imaginaria, es decir, se
cambia R por iR (R2 por -R2 ) se tienen los modelos del plano
(o del espacio) elíptico E1 y E2 , el segundo no es
simplemente conexo. En ellos no existen paralelas ni figuras
imaginarias, pero sí existen triángulos conjugados reales,
cosa esta última que no existe en H1 y H2 ; PI, H2 y E2 ,están
en la misma relación con E, H1 y E1
respectivamente.
He realizado el
cálculo de la métrica finita y diferencial angular que en el
caso de tres dimensiones establece las relaciones en un
triedro entre los ángulos de las aristas y los ángulos diedros
de las caras, que es sumamente curiosa.
En E1 como en H1 si R
tiende a cero, tienden a desaparecer (a transformarse en un
punto y si R tiende a infinito tienden al espacio euclídeo).
En E2 como H2 si R tiende a infinito, tienden a desaparecer y
si R tiende a cero tienden al plano o al espacio inversivo
incompleto. Por esto a estos espacios les podemos llamar de
curvatura infinita, porque -1/R2 es la curvatura del
espacio.
En H1 los arcos
interiores a SIGMA de las circunferencias secantes a SIGMA son
las equidistantes, mientras que los arcos exteriores son las
equidistantes de H2 . En el espacio euclídeo las rectas
paralelas son equidistantes y recíprocamente si dos rectas son
equidistantes son paralelas. En el plano hiperbólico las
rectas paralelas no son equidistantes, la curva equidistante
de una recta, no es una recta. Las equidistantes de una recta
no euclídea en H1, son las circunferencias que cortan a SIGMA
en dos puntos que pertenecen a la recta no euclídea; entre las
equidistantes está la cuerda de SIGMA determinada por la
circunferencia ortogonal a SIGMA imagen de la recta no
euclídea, así como por todas sus equidistantes.
Las circunferencias
tangentes a SIGMA, son las circunferencias de radio infinito
(horiciclos). En el caso de tres dimensiones son esferas
tangentes a la SIGMA y la geometría inducida en ellas por la
geometría de Lobatschewski es la geometría euclídea. Si son
interiores a SIGMA pertenecen a H1 y si son exteriores a H2
.
Mediante una oportuna
transformación geométrica H1 y H2 se transforman conjuntamente
en un modelo H3 en el que existe una circunferencia (o esfera
fundamental) que es la misma SIGMA anterior y las rectas (o
planos) no euclídeos son las cuerdas de SIGMA (o los círculos
de SIGMA) con una métrica distinta de H1 y H2 . En este modelo
los puntos imaginarios están sobre las rectas reales
exteriores a SIGMA, interiores a sus intersecciones
imaginarias con SIGMA. Se da la circunstancia de que el
soporte de los puntos imaginarios es una recta real, mientras
que en H1 y H2 el soporte de los puntos imaginarios es una
circunferencia imaginaria de centro real y radio imaginario.
Es un modelo que es simplemente conexo. Lo mismo sucede con E1
y E2 que se transforman en un modelo E3 de espacio elíptico
(también simplemente conexo) en el que las rectas (o planos)
no euclídeos son rectas o planos euclídeos. En estos espacios
H3 y E3, el papel que jugaba la inversión en los anteriores,
lo juegan las homologías.
Otros dos modelos H4
y H5 de espacios hiperbólicos y E4 y E5 de espacios elípticos
(figura 6) los he obtenido sobre la superficie de una esfera
S. Si la cortamos por un plano AB (que contiene a la recta AB
y a la perpendicular al plano del papel) S queda dividida en
dos casquetes I (superior) y II (inferior) por el plano AB. Si
cortamos S por planos que pasan por P (polo del plano AB) se
obtiene una circunferencia con un arco en I (modelo H4) y otro
en II (modelo H5) que son modelos del plano hiperbólico con
una métrica conveniente sobre S; entre cuyos puntos existe una
biyección, la de los puntos alineados con P. Estos arcos de
circunferencias son las rectas no euclídeas.
(fig.
6)
Si proyectamos desde
D (en el diámetro PQOD, O es el centro de S) el casquete I
superior sobre el plano tangente en C (proyección
estereográfica), obtenemos el modelo H2, y si proyectamos el
casquete II inferior obtenemos el modelo H1, lo contrario
sucede si la proyección la hacemos desde C sobre el plano
tangente a S en D. Las secciones por el plano AB de los planos
que pasan por P dan el modelo H3. Las anteriores
transformaciones geométricas dan las relaciones entre puntos
homólogos de los modelos H1 a H5. En H4 y H5 las rectas
imaginarias son las circunferencias imaginarias intersecciones
de S con los planos que pasan por P exteriores a S y por tanto
al cono circunscrito a S desde P.
Si en las operaciones
anteriores se sustituye el punto P por el Q se obtienen sobre
los casquetes I y II los modelos E4 y E5 del plano elíptico
sobre S. Las proyecciones estereográficas desde D y C dan los
modelos E2 y E1, y las intersecciones de los planos tangentes
en D o C a S con los planos que pasan por Q dan el modelo
E3.
A esta teoría la he
llamado de las n-esferas incompletas. Hay dos casos
particulares que ya eran conocidos, un modelo de Poincaré
cuando P está en el infinito y el clásico del plano de Riemann
cuando Q coincide con el centro O de S.
Los ángulos en los
modelos H4, H5, E4, E5 son los euclídeos.
Cuando P está sobre S
las intersecciones de S con los planos que pasan por P, con
una métrica conveniente dan un modelo del plano euclídeo y la
proyección estereográfica desde el punto de S diametralmente
opuesto a P da un modelo del plano inversivo.
Las métricas en H4,
H5, E4 y E5, y en el caso del párrafo antrior las he
calculado.
En todos los casos no
se cumple el axioma de Pasch en las geometrías euclídea y no
euclídea (elíptica o hiperbólica) sobre espacios que no sean
simplemente conexos, bien sea la conexión lineal o
superficial, porque existen triángulos no
paschianos.
Como hemos dicho
anteriormente Hilbert en "Los fundamentos de la Geometría" ha
dado la axiomática de la geometría euclídea y del plano
hiperbólico, pero no la del elíptico. En mi opinión solamente
es válida para espacios simplemente conexos.
Como en el plano
elíptico no se cumple el axioma de Arquímedes y no existen
rectas paralelas, en mi opinión se puede establecer la
axiomática del plano elíptico de la siguiente
manera:
son válidos:
- los
axiomas de enlace, de ordenación y de congruencia de Hilbert
para el plano hiperbólico.
- no son válidos ni el V
postulado de Euclides ni el axioma de las rectas secantes y no
secantes de Hilbert. Hay que sustituirlos por el siguiente
axioma: "dos rectas cualesquiera se cortan en un punto".
-
no es válido el axioma de Arquímedes, hay que sustituirlo por
el axioma de la divisibilidad indefinida. Es válido el axioma
de continuidad de la plenitud.
En otras ocasiones,
al tratar de lo que he llamado función s(x) y j(x), he hablado
de la crisis del principio de identidad. Pero también el
principio de identidad, así como el principio de igualdad por
superposición o encaje entran en crisis en la geometría
hiperbólica. Frente a los procesos de límite que tienen lugar
sin memoria, en los que una vez alcanzado el límite, se borra
el proceso por el que fue alcanzado, existen otros procesos de
límite en los que el comportamiento del límite depende de la
historia de su proceso.
Aclaremos el párrafo
anterior con un ejemplo. En el modelo H1 un punto en el
círculo SIGMA, es tal que si dos puntos están superpuestos son
idénticos y la distancia entre ellos es cero; pero si un punto
está en la circunferencia frontera de SIGMA, está a distancia
infinita de cualquier punto del círculo SIGMA, por pequeña que
sea la distancia euclídea que los separa. Si dos puntos están
superpuestos en la circunferencia frontera de SIGMA, aunque
están encajados el uno en el otro, no son totalmente
idénticos, y están a una distancia finita, que es una
indeterminación del tipo infinito-infinito, que hay que
calcular, igual, aunque de manera distinta, a como en Análisis
Matemático se levanta una indeterminación de infinito-infinito
por la regla de L'Hôpital.
Por ejemplo una recta
no euclídea D y una de sus equidistantes GAMMA, son en los
modelos H1 y H2, dos circunferencias (la D ortogonal a SIGMA)
que se cortan en dos puntos de SIGMA; si A es uno de estos
puntos considerado de D es distinto de considerado de GAMMA,
aunque estén superpuestos, su distancia es igual a la
distancia constante que separa a D de GAMMA a lo largo de todo
su recorrido. El punto A se puede alcanzar como punto límite
en dos movimientos en los que un móvil recorre D y otro
recorre GAMMA permaneciendo equidistantes en todo el
movimiento, y así quedan al alcanzar su misma posición límite
A sobre SIGMA; se conserva la memoria de como se ha alcanzado
esta posición límite, se recuerda su historia. El concepto del
punto límite A es dinámico y no estático y entonces la
superposición no significa igualdad. Lo anterior va en contra
del axioma IV de Euclides que afirma "cosas que encajan cada
una en la otra son iguales", axioma admitido en nuestros
días.
Las equidistantes se
manejan bien en H1 y H2 porque son circunferencias que pueden
degenerar en cuerdas, mientras que en H3 son elipses
bitangentes a SIGMA, equidistan de la cuerda de SIGMA (recta
no euclídea) que une los dos puntos de contacto de cada elipse
con SIGMA.
H3 tiene muchas
aplicaciones a la Teoría de la Relatividad. A la magnitud de
la velocidad que resulta de componer dos velocidades
coplanarias según la fórmula de Einstein, le he dado una forma
intrínseca que es válida en cualquier número de dimensiones.
Aplicada a dos velocidades infinitamente próximas, me ha
permitido calcular el elemento lineal (el dr) del espacio de
las velocidades relativistas, que es un espacio hiperbólico
H3, y como las velocidades han de ser inferiores a un límite
(la velocidad de la luz en el vacío) me permite construir una
mecánica estadística relativista, que se desvía
significativamente de la estadística clásica, para
temperaturas muy altas, como por ejemplo las que reinan en el
interior de algunos astros o de sus explosiones.
He dado una forma
intrínseca a la composición vectorial de velocidades
relativistas en dos dimensiones, que se puede generalizar a n
dimensiones, y aplicada a dos velocidades infinitamente
próximas, he definido lo que he llamado diferencial de
Einstein-Lobatschewski, denotada por Dv, que goza de la
propiedad de que el producto escalar Dv·Dv es igual al dp2 del
espacio hiperbólico, así como el producto escalar dv·dv es
igual al dp2 del espacio euclídeo, cuando dv es la diferencial
ordinaria de un vector.
Las fórmulas
anteriores son válidas en un espacio de Hilbert, así es que se
puede investigar un espacio de Hilbert-Lobatschewski, y
juntamente a este espacio de Hilbert hiperbólico existe
también otro elíptico.
Muchas gracias a la
Universidad Politécnica de Valencia por haberme nombrado
Doctor Honoris Causa y a todos Vds. por haberme acompañado en
este acto. |
